Valószínűségszámítás1G-tk

Az oldal tartalma

Számonkérés:

A Valószínűségszámítás 1. gyakorlatból az értékelési forma aláírás. A gyakorlat teljesítéséért nem jár kredit. A gyakorlatokon való részvétel kötelező. Megtagadásra kerül az aláírás attól a hallgatótól, aki a félévben háromnál több gyakorlatról hiányzik. Az a hallgató, aki megszerzi az aláírást, egy jegyet is kap a gyakorlatvezetőtől, amely feles értékű is lehet. Ez a jegy a vizsga értékelésébe bele fog számítani.

A félév során két 100 pontos évfolyamzh lesz, mindkét zárthelyin legalább 40 pontot kell elérni. Használható számológép, és „puskalap”: az első zárthelyin 1 db, a másodikon 2 db A4-es oldal (kézzel írott).

Saját zh-k lesznek.

Minden gyakorlat elején kihívhatok embereket a táblához, hogy elmondják a házi feladatok megoldását. Helyes megoldásért 5 pont jár, ha valaki próbálkozott, de nem sikerült, az 0 pont, ha viszont ki sem jön, nem tudja mi a feladat, vagy hozzá sem tud kezdeni, az -5 pontot jelent.

A félév végén minden pontot összeadok, majd jegyet képzek:
0-79: 1, 80-94: 2, 95-109: 2.5, 110-124: 3, 125-139: 3.5, 140-154: 4, 155-169: 4.5, 170- : 5.

A vizsgaidőszak első hetében lehetőség lesz javítózh megírására. Csak az egyik dolgozatból lehet javítani, és az itt elért eredmény lesz beszámítva az összesített pontszámba a félévközi dolgozat eredménye helyett. Nem vehet részt javítózh-n az a hallgató, aki egyik félévközi dolgozatából sem szerzi meg az előírt 40 pontot. Akinek még ezután sincs érvényes jegye, annak lesz még egy lehetősége, hogy egy egyszerűbb feladatokat tartalmazó dolgozaton elérje a minimális szintet, de ilyen módon csak 2-es jegy szerezhető.

Korábbi, régebbi feladatsorok gyakorolni, (Varga László, Bognár Jánosné, saját, …):Példák a permutáció-kombináció-variáció témakörhöz

Adott 10 gyerek. Hányféleképpen tudod őket tornasorba állítani? Válasz: 10!
Hány különböző sorrendben tudod felírni az 1 1 4 5 6 6 6 7 7 számokat?Válasz: $$\displaystyle \frac{{9!}}{{2!3!2!}}$$
Adott egy urna, benne 10 különböző radír. Amennyiben nem fontos, milyen sorrendben húztad ki őket, akkor hányféleképpen tudsz belőle 3-at kihúzni visszatevés nélkül? Válasz: \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 3
\end{array}} \right)\]
Adott egy urna, benne 10 különböző radír. Amennyiben nem fontos, milyen sorrendben húztad ki őket, akkor hányféleképpen tudsz belőle 3-at visszatevéssel kihúzni? Válasz: \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ 3
\end{array}} \right)\]
Adott egy urna, benne 10 különböző radír. Amennyiben fontos, milyen sorrendben húztad ki őket (számozottak), hányféleképpen tudsz belőle 3-at visszatevés nélkül kihúzni? Válasz: \[\frac{{10!}}{{7!}}\]
Adott egy urna, benne 10 különböző radír. Amennyiben fontos, milyen sorrendben húztad ki őket, akkor hányféleképpen tudsz belőle 3-at visszatevéssel kihúzni? Válasz: 10³
Hány 6-jegyű autórendszámot tudsz csinálni a 2,…,9 számjegyekből? Válasz: 8⁶
Mi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott 6 jegyű szám jegyei mind különbözőek?
Hányféleképpen lehet 8 bástyát letenni egy sakktáblára, hogy ne üssék egymást?
2 érmével dobunk, majd még annyi érmével, ahány fejet az első két érmével kaptunk. Mik lesznek az eseménytér elemei?
Legyen A, B, C három esemény. Írjuk fel halmazelméleti műveletekkel azt az eseményt, hogy közülük
a) pontosan k
b) legfeljebb k esemény következik be (k = 1, 2, 3)
Mintavétel: Adott N különböző termék, amik között van M selejtes. Veszünk n elemű mintát
a.) visszatevéssel;
b.) visszatevés nélkül.
Mennyi a valószínűsége, hogy az n termékből k selejtest sikerült kiválasztanunk?
Mennyi a valószínűsége, hogy egy n hosszúságú érmedobási sorozatban r “futam” (homogén részsorozat) legyen? (Pl. Az FFIFFFIIIF sorozatban 5 futam van.)
Egy urnából, amelyben 5 különböző színű golyó van, 10-szer húzunk visszatevéssel. Mennyi a valószínűsége, hogy minden golyó szerepel a kihúzottak között?
2N darab molekula mindegyike egymástól függetlenül, véletlenszerűen kerül az A vagy a B térrész valamelyikébe. Mennyi a valószínűsége, hogy
a) ugyanannyi molekula lesz A-ban és B-ben;
b) A-ban több lesz, mint B-ben;
c) mindkettőben páros számú molekula lesz?
Kiosztunk n darab különböző könyvet k lány között. (Minden kiosztás egyenlően valószínű.) Mennyi a valószínusége, hogy pont r kislány nem kap könyvet?$$P={k\choose r}(k-r)^n-{k\choose r+1}{r+1\choose r}(k-(r+1))^n+\ldots+
(-1)^i{k\choose r+i}{r+i\choose r}(k-(r+i))^n+\ldots =
\sum_{i=0}(-1)^i{k\choose r+i}{r+i\choose r}(k-(r+i))^n$$vagy$$P={k\choose r}\left[(k-r)^n-{k-r\choose 1}(k-(r+1))^n+\ldots+
(-1)^i{k-r\choose i}(k-(r+i))^n+\ldots \right]=
\sum_{i=0}(-1)^i{k\choose r}{k-r\choose i}(k-(r+i))^n$$
2N darab molekula mindegyike egymástól függetlenül, véletlenszerűen kerül N darab térrész valamelyikébe. Mennyi a valószínűsége, hogy mindegyik térrészben lesz legalább egy molekula?
n számozott dobozba n számozott golyót véletlenszerüen elhelyezünk (mind az nⁿ elhelyezés egyformán valószínű).
a) Mennyi a valószínűsége, hogy az 1-es doboz üres marad?
b) Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan r doboz marad üresen?
Egy dobozban M piros és N – M fehér golyó van. Visszatevés nélkül kihúzzuk az összes golyót. Mennyi a valószínűsége, hogy előbb húzunk két pirosat, mint két fehéret?
Ha egy magyarkártya-csomagból visszatevés nélkül húzunk 3 lapot, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy
a) pontosan
b) legalább egy piros színű lapot húzunk? És mi a helyzet visszatevéses esetben?
n dobozba helyezünk el n darab azonos golyót úgy, hogy bármennyi golyó kerülhet az egyes dobozokba.
a) Mi a valószínűsége, hogy minden urnába kerül golyó?
b) Mi a valószínűsége, hogy pontosan egy doboz marad üresen?
Aritmethiában az autók rendszámai hatjegyű számok 000000 és 999999 között. Mi a valószínűsége, hogy van 6 a jegyek között?
Lottóhúzás során (5-ös lottó) a.) milyen eséllyel lesz két találatom?
b) milyen eséllyel lesz legalább két találatom?
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kenóhúzás során (80-ból 20 kihúzása) több a páros, mint a páratlan?
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lottószámok a húzás sorrendjében monoton sorozatot alkotnak?
Változik-e a válasz (és miért), ha azt követelem meg, hogy szigorúan monoton sorozatot alkossanak?
Egy zsákban 10 pár cipő van. 4 db-ot kiválasztva mi a valószínűsége, hogy van közöttük pár, ha
a) egyformák
b) különbözőek a párok?
Mennyi annak a valószínűsége, hogy 3 kockával kétszer dobva, mindkét esetben ugyanazt
az eredményt kapjuk, ha
a) a kockák megkülönböztethetőek?
b) a kockák nem különböztethetőek meg?
Az autók rendszáma 3 betűből és 3 számból áll. A betűkhöz 20 mássalhangzót és 5 magánhangzót használhatunk.
a) Hányféle rendszámot készíthetünk?
b) Mi a valószínűsége, hogy egy rendszámban pontosan egy
mássalhangzó van?
c) Mi a valószínűsége, hogy egy rendszámban van páros számjegy?
d) Mi a valószínűsége, hogy egy rendszámban hármas és magánhangzó
közül legalább az egyik van?
Mennyi a valószínűsége, hogy egy lottóhúzásnál (90/5) a legnagyobb kihúzott szám k?
A 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk 6 lapot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy e hat lap között mind a négy szín előfordul?
Egy bulira 5 féle sapkát lehetett felvenni. Mindenki választott egyet-egyet. Mindegyikből rengeteg van, azaz feltehetjük, hogy mindegyik színűt 1/5-1/5 valószínűséggel választják. Ha 10 ember mindegyike véletlenszerűen választ egy sapkát (valamelyik színűt). Mi a valószínűsége, hogy mind az 5 féle sapka előfordul a 10 kiválasztott között?
Egy osztályban 12 fiú és 20 lány van. 5 egymás utáni napon kell
egy-egy ember az osztályból, aki felelős a táborozásért. (Lehet
ugyanaz a gyerek többször is.) A fiúk között 5 szőke van a lányok
között 7
a) Hányféle lehetőség van az 5 gyerek kiválasztására?
b) Hányféle lehetőség van, ha legalább 3 alkalommal lányt kell
választani?
c) Mi a valószínűsége, hogy Klein Káin nem lesz felelős?
d) Mi az esély, hogy 2 szőke fiú és 3 nem szőke lány lesz?
e) Mi a valószínűsége, hogy nem lesz szőke közöttük?

Feltételes valószínűség

Mennyi a valószínűsége, hogy két kockadobásnál mind a két dobás 6-os, feltéve, hogy tudjuk, hogy legalább az egyik dobás 6-os?
Három kockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege 12?
Egy érmével annyiszor dobunk, mint amennyi egy szabályos kockadobás eredménye. Mi a valószínűsége, hogy nem kapunk fejet?
100 érme közül az egyik hamis (ennek mindkét oldalán fej van). Egy érmét kiválasztva és azzal 10-szer dobva, 10 fejet kaptunk. Ezen feltétellel mi a valószínűsége, hogy a hamis érmével dobtunk?
Egy diák a vizsgán p valószínűséggel tudja a helyes választ. Amennyiben nem tudja, akkor tippel, erre 1/3 az esélye. Feltesszük, hogy a diák tudása biztos (azaz ha tudja a választ, akkor az jó is). Határozd meg p értékét, ha 3/5 annak a valószínűsége, hogy amennyiben helyesen válaszolt, tudta is a helyes választ!
Vándorlásai közben Odüsszeusz egy hármas útelágazáshoz ér. Az egyik út Athénbe, a másik Spártába, a harmadik Mükénébe vezet. Az athéniek kereskedő népség, szeretik ámítani a látogatókat, csak minden 3. alkalommal mondanak igazat. A mükénéiek egy fokkal jobbak: ők csak minden második alkalommal hazudnak. A szigorú spártai neveltetésnek köszönhetően a spártaiak becsületesek, ők mindig igazat mondanak. Odüsszeusznak fogalma sincs, melyik út merre vezet, így feldob egy kockát, egyenlő esélyt adva mindegyik útnak. Megérkezve a városba, megkérdez egy embert, mennyi 2 × 2, mire
közlik vele, hogy 4. Mi a valószínűsége, hogy Odüsszeusz Athénba jutott?
Milyen n > 1-re lesz független
a) az a két esemény, hogy A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: legfeljebb egy írás van.
b) az a két esemény, hogy A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: az első dobás fej.
Osztozkodási probléma: hogyan osztozzon a téten két játékos, ha 2 : 1 állásnál félbeszakadt a 4 győzelemig tartó mérkőzésük? (Tfh. az egyes játékok egymástól függetlenek, bármelyikük ½ valószínűséggel nyerhet az egyes játékoknál.)
Egy urnában, ismeretlen összetételben, fehér és fekete golyók vannak. Visszatevés nélkül húztak ki n golyót, s ebből k lett fehér és n – k fekete. Mi a valószínűsége, hogy az első húzás eredménye fehér golyó volt?
Aladár és Béla pingpongoznak. Minden labdamenetet, egymástól függetlenül, 1/3 valószínűséggel Aladár, 2/3 valószínűséggel Béla nyer meg. A jelenlegi állás 20 : 19 Béla javára. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a meccset mégis Aladár nyeri meg? (Az nyer, akinek sikerül legalább két pontos előny mellett legalább 21 pontot szerezni.)
Annak esély, hogy ma valaki Magyarországon dohányzik, körülbelül 0,4, annak esélye pedig körülbelül 51:100, hogy a keringési rendszer megbetegedésben hal meg. A dohányosok között 0,45 a keringési rendszerre visszavezethető halálozás valószínűsége. Határozd meg annak valószínűségét, hogy valaki nem keringési rendszeri betegségben hal meg, ha nem dohányzik!
Egy 1 milliárd lakosú országban egy olcsó AIDS teszt bevezetését tervezik. Tudjuk, hogy kb. minden ezredik ember fertőzött. Kiderült, hogy a betegek 99,9%-ánál pozitív, viszont sajnos az egészségesek 0,1%-ánál is pozitív eredményt ad a teszt. Ilyen paraméterek mellett elvetették a használatát. Egy matematikus azt javasolta, hogy végezzék el kétszer egymás után a vizsgálatot és ha mindkettő pozitív, csak akkor küldjék orvoshoz a pácienst, így már bevezethető lett a teszt. A következő két kérdéssel arra keressük a választ, mi ennek a magyarázata.
(a) Számítsuk ki mennyi a valószínűsége, hogy beteg valaki, ha az első teszt pozitív.(b) Számítsuk ki mennyi a valószínűsége, hogy beteg valaki, ha mind a két teszt pozitív.
Annak esély, hogy ma valaki Magyarországon dohányzik, körülbelül 0,4, annak esélye pedig körülbelül 26 : 100, hogy daganatos megbetegedésben hal meg. A dohányosok között 0,55 a daganatos megbetegedés valószínűsége. Határozd meg annak valószínűségét, hogy valaki nem daganatos betegségben hal meg, ha nem dohányzik!

Eloszlások

Egy repülőgépen 230 ülőhely van, de 234 jegyet adtak el (overbooking). Minden repülőjegyet vásárló 0,984 valószínűséggel akar felszállni a gépre. Mi a valószínűsége, hogy minden jelentkező el tud repülni a járattal? Mi az esélye, hogy 2 embernek is kártérítést kell fizetni?
Egy APEH vizsgálat során az ellenőrzésre behívottak 10%-a bírságolható meg jogosan. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 400 ellenőrzésre behívott adóalany közül legfeljebb 50-et bírságolnak meg jogosan?
Adjuk meg annak a valószínűségi változónak az eloszlását, ami egy hatgyermekes családban a fiúk számát adja meg. (Tegyük fel, hogy mindig ½-½ a fiúk, illetve a lányok születési valószínűsége.)
Tudjuk, hogy a 18 évesek 16%-a kipróbált már valamilyen drogot. Mi a valószínűsége, hogy egy 240 fős elsős évfolyamon kevesebb mint 30
ember próbált ki valamilyen kábítószert?
Határozzuk meg az
a) binomiális~,
b) Poisson eloszlás maximális tagját.
Egy n, egymástól függetlenül működő alkatrészekből álló rendszert figyelünk meg egymás utáni időperiódusokban. Annak valószínűsége, hogy egy alkatrész működik, p mindre, egymástól függetlenül. Fennakadás van a rendszerben, ha legalább k alkatrész nem műk. Mennyi a valószínűsége, hogy először az m-edik periódusban lesz fennakadás?
Milyen eloszlásúak:
a) Azon hetek száma, ameddig (egymást követően) 0 találatunk van a lottón?(egy szelvénnyel!);
b) Két kockadobás minimuma, maximuma.
Az X val. változó 2 paraméterű Poisson-eloszlású. P(X ≥ 2) =?
Egy szövegben a sajtóhibák száma t paraméterű Poisson eloszlású. Egy javító a hibákat egymástól függetlenül p valószínűséggel kijavítja, illetve 1 – p valószínűséggel nem veszi észre őket.
a) Határozzuk meg a megmaradó hibák számának eloszlását!
b) Mennyi a valószínűsége, hogy a megmaradó hibák száma páros?
Adott együttes eloszlás esetén állapítsuk meg, hogy függetlenek-e a valószínűségi változók?
3 piros, 1 fehér golyót tartalmazó dobozból 100-szor húzunk visszatevéssel. X az első 50, Y az első 70 húzás során kihúzott pirosak száma. Milyen eloszlású Z = Y – X?
Egy érmével 5-ször ((2n + 1)-szer) dobunk. X a fejek száma, Y azon jelek száma, amelyikből több van a sorozatban. Határozzuk meg (X, Y) együttes eloszlását. Független-e X és Y?
Egy dobozban 10 piros, 10 fehér, 10 zöld, 10 kék cédula van, mindegyik 1-től 10-ig számozva. Visszatevéssel húzunk kétszer: X a pirosak száma a kihúzottak között; Y a kékek száma; Z a 10-esek száma.
a) X, Y együttes eloszlása?
b) X, Z együttes eloszlása ?
c) Y + Z eloszlésa?
Egy piros és fehér kockát feldobunk. X a piroson dobott szám, Y a két dobás maximuma. Határozzuk meg X, Y együttes eloszlását.
n darab szabályos érmét egyszerre feldobunk, és a fejeket eltávolítjuk. A maradékot újra feldobjuk és a fejeket újra eltávolítjuk. Ezt addig ismételjük, amíg nem marad mit feldobni. Mennyi a valószínűsége, hogy k-szor kell dobni?
Válasszunk az egységnégyzetben egy pontot véletlenszerűen. Jelölje X a pontnak a négyzet legközelebbi oldalától vett távolságát. Írd fel X eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét, várható értékét!
Egységnyi hosszú szakszon találomra választva 2 pontot mi lesz a keletkezett
szakaszok legkisebbike hosszának az eloszlásfüggvénye?
A (0, 1) intervallumoban jelöljünk ki véletlenszerűen 3 pontot. Határozd meg a
középső pont koordinátájának az eloszlásfüggvényét!
Egy X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye
$$g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{0,} \hfill & {{\rm{ha }}\quad x \le -1} \hfill \\
{x^2 ,} \hfill & {{\rm{ha }} \quad -1 \le x < 0} \hfill \\
{\frac{a}{{(x + 1)^2 }},} \hfill & {{\rm{ha }}\quad 0 \le x} \hfill \\
\end{array}} \right.$$Határozd meg az a paraméter értékét, add meg az eloszlásfüggvényt!
Mekkora a P(0 < X < 1) valószínűség?
Adott egy Y valószínűségi változó várható értéke és szórása. E(Y) = 50, D(Y) =
10. Becsüld meg annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó a várható értéktől legfeljebb 20-szal tér el! Mennyi ez a valószínűség ha egyenletes eloszlású a valószínűségi változó?
Két számot választunk a [0, 1] intervallumon véletlenszerűen. A két számot jelölje x, illetve y. Mennyi annak valószínusége, hogy x + y < 1 és xy > 4/25 egyszerre teljesül?
Válasszunk a (0; 1) intervallumon két pontot egyenletes eloszlás szerint, egymástól függetlenül. Jelöljük a két pont távolságát d-vel. írd fel d eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét, várható értékét és szórását.
Adott egy Z exponenciális eloszlású valószínűségi változó, és tudjuk, hogy P(Z < 3) = 0, 6. Mennyi a mediánja? Mekkora annak valószínűsége, hogy P(Z > 9)?
Egy szántóföldön a búza évenkénti termése normális eloszlású, átlaga 60 q/hektár, szórása 15 q/hektár. Mi a valószínűsége annak, hogy egy adott évben a termés
(a) meghaladja a 38 q/hektárt,
(b) 80 és 90 q/hektár közé esik?
(c) Az évek legjobb termésátlagot adó 10%-ában legalább mekkora a termésátlag?
Egy Z egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke 6, szórásnégyzete 3. Add meg a következő valószínűségeket P(Z < 6), P(Z < 8), P(Z = 2)!
Lásd be, hogy ha X egyenletes eloszlású a (0, 1) intervallumon, akkor ln(1/X)
exponenciális eloszlású.
Lásd be, hogy ha X eloszlásfüggvénye F szigorúan monoton és folytonos, akkor az Y = F(X) valószínűségi változó egyenletes eloszlású.
Egy nem szimmetrikus (egyik oldalán cinezett) érméről tudjuk, hogy a fej dobás valószínűsége 0,62. Hányszor kell feldobni ezt az érmét, hogy a fejek számának relatív gyakorisága legalább 0,9 valószínűséggel 0,005-nél kevesebbel térjen el a 0,62-tól?
Legalább hány kísérletet kell elvégeznünk, ha egy ismeretlen valószínűségű eseményt a relatív gyakoriságával akarunk becsülni legfeljebb 0,02 eltéréssel, 0,95 valószínűséggel?
Ha X N(2, 3) eloszlású valószínűségi változó, akkor határozd meg a P(1 ≤ X < 3)
valószínűséget.
Ha X N(0, 1) eloszlású valószínűségi változó, és P(X ≥ b) = 0, 7, akkor mekkora
b?
Fej-írás játék esetén mekkora a valószínűsége, hogy 100 dobás esetén nyereményed −25 és 25 között van (közelítéssel számolj)?
Becsüljük meg annak valószínűségét, hogy egy 100 tagot számláló, szabályos
érmedobásból származó sorozatban több mint 60 a fejek száma. Milyen becsléseket ismersz?
Egy dobókockát 720-szor feldobunk. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a p valószínűségét, hogy a dobott hatosok száma legalább 110, de 130-nál kisebb.
Egy dobozban 4 cédula van, rajtuk a −1, 0, 2, 2 számok. 192-szer húzunk visszatevéssel a dobozból. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a kihúzott számok összege legalább 108, de legfeljebb 162.

Várható érték, szórás

Albert és Béla a következőt játsszák: Mindketten feldobnak egy dobókockát, majd Albert annyi forintot kap Bélától amennyi a két kockán levő pontok különbségének a négyzete. Béla meg annyit kap Alberttől, amennyi a két kockán levő pontok összege. Melyiküknek kedvez a játék?
Egy dobozban az 1, 2, 3, 4 feliratú 4 cédula van. Visszatevéssel húzunk, amíg 4-es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének várható értékét!
Határozd meg három kockadobás minimumának a várható értékét és szórását.