Anna 4, Bea 8, Csongor 9, Dénes 11 éves. Véletlenszerűen kiválasztva két (különböző) gyereket, jelölje X, hogy hány fiút választottunk, Y pedig azt, hogy hány éves a fiatalabb kiválasztott. Számítsuk ki X és Y korrelációs együtthatóját!
Legyen X és Y két valószínűségi változó, melyekre D(X) = 2 és D(Y) = 6.
a) Mennyi D(X + Y), ha X és Y függetlenek?
b) Legfeljebb mennyi D(X + Y), ha X és Y együttes eloszlásáról nem teszünk fel semmit?
c) Legalább mennyi D(X + Y), ha X és Y együttes eloszlásáról nem teszünk fel semmit?
d) Mennyi D(3X – 2Y), ha X és Y függetlenek?
e) Mennyi D(2X – Y), ha X és Y korrelációs együtthatója –0,5?
Egy szabályos érmével 12-szer dobtunk. Tekintsük a következő valószínűségi változókat:X : a fejek száma az első 6 dobásból Y : az írások száma az első 6 dobásból Z : a fejek száma az utolsó 6 dobásból V : a fejek száma mind a 12 dobásból W: az írások száma az utolsó 10 dobásból
Keressünk ezek közül olyan párokat, melyek korrelációs együtthatója
a) 0
b) –1
c) pozitív, de 1-nél kisebb
d) negatív, de (–1)-nél nagyobb
A c) és d) esetben számítsuk is ki a pontos értéket!
Adjunk felső becslést annak valószínűségére, hogy
a) 100 kockadobás átlaga legalább 4,
b) 1000 kockadobás átlaga legfeljebb 3,2.
A véletlenszám-táblázatból (amelyben 0-tól 9-ig szerepelnek számjegyek) kiválasztjuk azokat a számokat, amelyek hárommal oszthatók, mindaddig, amíg 100 ilyen számot nem találunk. Becsüljük annak a valószínűségét Markov-, illetve Csebisev-egyenlőtlenséggel, hogy ehhez legalább 1000 számot tartalmazó táblázatra van szükségünk!
Hányszor dobjunk fel egy szabályos kockát, ha azt szeretnénk, hogy a hatosok relatív gyakorisága legalább 90% eséllyel legfeljebb 0,05-tel térjen el 1/6-tól? Használjuk a Csebisev egyenlőtlenséget!
Egy célpontra 200 lövést adnak le. A találat valószínűsége minden lövésnél 0,4 (és az egyes lövések függetlenek). Jelölje a találatok számát X. A Csebisev egyenlőtlenség felhasználásával adjunk felső becslést a P(X ≥ 92) valószínűségre!
Adjunk példát olyan X véges várható értékű valószínűségi változóra, és K > 0 számra, hogy P(X ≥ K) > E(X)/K.
