- Két kockával dobunk. Egy ilyen dobást sikeresnek nevezünk, ha van 6-os a kapott számok között. Várhatóan hány sikeres dobásunk lesz 30 próbálkozásból?
- A véletlenszám-táblázatból (amelyben 0-tól 9-ig szerepelnek számjegyek) tíz darab hárommal osztható számot kell kigyűjtenünk. Várhatóan hány számot kell végignéznünk?
- Várhatóan hányszor kell dobni egy kockával, míg
a) minden szám kijön,
b) minden páros szám kijön? - Számítsuk ki a kihúzott legkisebb lottószám várható értékét!
- Mennyi a lottón kihúzott számok összegének várható értéke?
- Várhatóan hány különböző születésnapja van 100 véletlenszerűen választott embernek? (Szökőnaptól tekintsünk el!)
Jelölje \[X_i \] azt a valószínűségi változót, amelyet minden naphoz hozzárendelünk, és értéke 1, ha azon a napon nem született senki, és értéke 0 egyébként. Azaz megszámoljuk, hogy hány napon nem születik senki sem. Nyilván 365 db ilyen változó van, és \[E(X_i) =\left(\frac{364}{365} \right)^{100} ,\] tehát a 365 változó összegének a várható értéke \[365\cdot \left(\frac{364}{365} \right)^{100}\approx 277,42. \] Ennyi napon nem született senki, tehát a szülinapok számának a várható értéke \[365-277,42=87,58. \]
- Öt házaspár véletlenszerűen foglal helyet egy kerek asztal körül. Jelölje X azt, hogy hány olyan házaspár van, ahol a férj és a feleség egymás mellé került. Adjuk meg X várható értékét!
- Tíz ember mindegyike feldob egy dobókockát. Azok nyernek, akik olyan számot dobnak, amit senki más. Jelölje X a nyertesek számát. Mennyi X várható értéke? Pl: ha a dobások dobások 1546336116, akkor X = 2 (pirossal jelöltem a nyerteseket).
- Jelölje X három kockadobás maximumát. Mennyi X várható értéke?
- Egészítse ki az ötöslottó számhúzóiról szóló cikk alábbi állítását! (Index.hu): “A számhúzásra bárki jelentkezhet. A jelentkezők közül a Szerencsejáték Zrt. központjában előzetesen 25 szerencsés embert sorsolnak ki: ők mindannyian a stúdióban ülve várják, hogy a helyszínen eldőljön, közülük ki az egyetlen még szerencsésebb, aki a nyerőszámokat kihúzhatja. … Egy család három tagja 28 hét alatt 15-ször került be a jelöltek közé. Ez 53,57 százalékos arányt jelent*. Az állami cég szerint az ötös lottó esetében hetente stabilan 11 ezer körül alakul a jelentkezések száma. Nem túl bonyolult kiszámolni: ahhoz, hogy valaki 11 ezer jelentkezés mellett ilyen gyakorisággal kerüljön be az adásba, hetente átlagosan xxx szelvénnyel kell játszania.”
* Vigyázat! Itt igazából arról van szó, hogy 28 hét alatt összesen 15 családtag került a jelöltek közé (bizonyos heteken két vagy három családtag is bekerült)! A százalékos arány ezért itt megtévesztő szám! - Egy szabályos kockát feldobunk, majd ha akarunk, újra dobhatunk, ezután ha akarunk, harmadszor is dobhatunk. Tehát a kockával egyszer, kétszer vagy háromszor dobhatunk. Az utolsó dobott érték számít, jelölje ezt X. Milyen stratégia mellett lesz X várható értéke maximális, és mennyi ez a várható érték?
- Egy dobozban az 1, 2, 3, 4 feliratú 4 cédula van. Visszatevéssel húzunk, amíg 4-es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének várható értékét!
- Egy dobozban az 1, 1/2, 2 feliratú három cédula van. Visszatevéssel húzunk, amíg 1-es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok szorzatának várható értékét!
- Legyen X és Y két kockadobás eredménye. Határozzuk meg X és Z = max(X, Y) együttes eloszlását! Adjuk meg X eloszlását a {Z = 5} feltétel mellett!
- Jelölje a lottóban kihúzott i. legkisebb számot Xi. Adjuk meg X2 és X4 együttes eloszlását! Melyik számpár lesz a legvalószínűbb?
- Egy szabálytalan érmével (p a fej valószínűsége) végzett dobássorozatnál jelölje X az első, azonosakból álló sorozat hosszát, Y pedig a második, azonosakból álló sorozat hosszát. (Ha pl. a dobássorozat FIIIF…, akkor X = 1, Y = 3.) Adjuk meg X és Y együttes eloszlását, valamint a peremeloszlásokat. Mennyi a két változó várható értéke?