A ZH témakörei: valószínűségi mező, szita formulák, feltételes valószínűség és események függetlensége, teljes valószínűség tétele és Bayes tétel, diszkrét valószínűségi változók és eloszlásuk, nevezetes diszkrét eloszlások, legvalószínűbb érték meghatározása, várható érték.
Valószínűségszámítás 1. ZH
október 19.
A csoport
A ZH-n csak tollat, számológépet és egy “puskapapírt”szabad használni, a szomszédot szigorúan tilos. A papírjukra írják fel a nevüket és a csoportot (A vagy B), valamint hogy melyik gyakorlati csoportba járnak! A feladatlapot ZH után meg lehet tartani. Ha van értelmezésbeli kérdésük, jelentkezzenek, megpróbálok válaszolni!
Minden feladat 20 pontot ér, minimum 40 pontot kell elérni.
- Egy 4 fős társaság egy pakli franciakártyából kiválogatta a figurákat: a négy ászt, négy királyt, négy dámát, és négy bubit. A 16 lapot véletlenszerűen leosztották, mindenki négy lapot kapott.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy legalább egy ember négy különböző figurát kapott? (Nem kell numerikus végeredmény.) (12 pont)
b) Jelölje X, hogy hányan kaptak négy különböző figurát. Mennyi X várható értéke? (8 pont) - Legyen A, B és C három esemény, melyekre A és B kizárják egymást (diszjunktak), továbbá C független A-tól és B-től is.
a) Igaz-e, hogy C független (A ∪ B)-től? (10 pont)
b) Legyen P(A) = P(B) = 0,3, és P(C | A) = 0,2. Mennyi P(A ∪ B ∪ C)? (10 pont) - Egy urnában 3 piros és 3 fehér golyó van. Bogi kihúzott két golyót, visszatevés nélkül. A fehéreket megtartotta, a pirosakat visszatette. Ezután Attila kétszer húzott visszatevéssel, és mindkétszer piros golyót húzott. Mekkora az esélye, hogy Bogi két fehéret húzott?
- Egy 100 darabos terméksor mindegyik eleme a λ = 0,4 paraméterű Poisson eloszlás szerint tartalmaz k = 0, 1, 2, … darab hibát. Egy termék akkor megfelelő, ha legfeljebb 1 hibát tartalmaz.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy adott termék megfelelő? (5 pont)
b) Mennyi a valószínűsége, hogy a 100-ból pontosan 94 vagy 95 termék megfelelő? (A végeredményt numerikusan is kérem.) (10 pont)
c) Mennyi a megfelelő termékek számának várható értéke? (5 pont) - Attila és Bogi a következő játékot játsszák. Attilánál 5, Boginál 4 szabályos pénzérme van, és egyszerre dobálják fel az érméiket. Az nyer, akinek előbb sikerül pontosan három fejet dobni. Ha ez egyszerre sikerül nekik, akkor az eredmény döntetlen. Jelölje X, hogy hányadik dobásnál ér véget a játék.
a) Adjuk meg X eloszlását! (10 pont)
b) Mennyi a valószínűsége, hogy döntetlen lesz az eredmény? (10 pont)Példa: Itt X = 3, és Attila nyert.
| Dobás sorszáma: | 1. | 2. | 3. |
| Attila hány fejet dobott (5-ből): | 2 | 4 | 3 |
| Bogi hány fejet dobott (4-ből): | 2 | 1 | 0 |
A 2. ZH témakörei: szórás, kovariancia, korrelációs együttható, standardizálás, Markov és Csebi-sev egyenlőtlenség, bolyongás gráfon (végállapotok valószínűsége, illetve várható lépésszám kiszámítása), generátorfüggvény, tükrözési elv (szimmetrikus bolyongásnál), eloszlás- és sűrűség-függvény, nevezetes abszolút folytonos eloszlások, várható érték és szórás abszolút folytonos esetben, normális eloszlás táblázatának használata, CHT alkalmazása.
Valószínűségszámítás 2. mintaZH
A ZH-n csak tollat, számológépet, statisztikai táblázatot, és egy “puskapapírt”szabad használni, a szomszédot szigorúan tilos.
-
- Egy dobozban két piros és két fehér golyó van. Egymás után, visszatevés nélkül, kihúzzuk mind a négyet. Jelölje X, hogy az első fehér húzás előtt hány piros golyót húztunk, és jelölje Y, hogy az utolsó fehér húzás után hány piros golyót húztunk. Számítsuk ki X és Y korrelációs együtthatóját!
Pl: ha a golyók sorrendje PPFF, akkor X = 2, Y =0.
Megoldás: R = -1/2 - Egy szabályos érmét addig dobálunk, amíg vagy az II, vagy az FIF sorozat megjelenik.
a) Várhatóan hányszor kell dobni?
b) Mennyi az esélye, hogy az FIF sorozat jön ki előbb?
Megoldás: m = 3,75; p = 3/8 - Egy szavazáson az A jelölt 55, a B jelölt 45 szavazatot kapott. A 100 db szavazatot véletlenszerű sorrendben számolták össze.
a) Mennyi az esélye, hogy a szavazatszámlálás során végig az A jelölt vezetett?
b) Mennyi az esélye, hogy a szavazatszámlálás során, a második szavazattól kezdve, a szavazatkülönbség A javára mindig legalább 2 volt?
Megoldás: a) 1/10; b) 1/20 - Legyenek az Xi valószínűségi változók függetlenek és azonos eloszlásúak. Közös sűrűségfüggvényük
$$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3{x^2}/2,}&{{\rm{ha }} \phantom x x\in [ – 1,\;1],}\\
0&{{\rm{egyébként}}{\rm{.}}}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
\quad \\
{{\rm{ }}}
\end{array}} \right.$$
Becsüljük felülről a P(X1 + … + X10 ≤ -5) valószínűséget Csebisev-egyenlőtlenséggel! - Egy madzagvágó gép madzagdarabokat vág. A levágott madzagok hossza normális eloszlású, 3 cm szórással, míg az m várható hosszúságot a gép kezelője állíthatja be. A madzagokkal zacskók száját kell bekötni, amihez legalább 15 cm hosszú darabra van szükség.
a) Tegyük fel, hogy m = 17 cm. A madzagok hány százaléka lesz alkalmas zacskóbekötésre?
b) Mekkora legyen m, ha azt szeretnénk, hogy a madzagok legalább 90%-a alkalmas legyen zacskóbekötésre? - Egy célpontra 200 lövést adnak le. A találat valószínűsége minden lövésnél 0,4 (és az egyes lövések függetlenek). Jelölje a találatok számát X. Adjunk közelítést a P(X ≥ 92) valószínűségre a CHT segítségével!
- Egy dobozban két piros és két fehér golyó van. Egymás után, visszatevés nélkül, kihúzzuk mind a négyet. Jelölje X, hogy az első fehér húzás előtt hány piros golyót húztunk, és jelölje Y, hogy az utolsó fehér húzás után hány piros golyót húztunk. Számítsuk ki X és Y korrelációs együtthatóját!