7. feladatsor

  1. Egy szabályos érmét addig dobálunk, míg vagy az IFF vagy az IIF sorozat kijön három egymás utáni dobásból.
    a) Mennyi a valószínűsége, hogy IFF jön ki előbb?
    b) Várhatóan hányszor kell dobnunk?
  2. Egy szabályos kockát addig dobálunk, míg két egymás utáni dobás különbségének abszolút értéke 5 lesz. Ehhez X dobás kell.
    a) Adjuk meg X generátorfüggvényét!
    b) Számítsuk ki X várható értékét!Megoldás:$$\begin{array}{l}
    {G_1}(z) = \frac{1}{6}z{G_1}(z) + \frac{2}{3}z{G_2}(z) + \frac{1}{6}z\\
    {G_2}(z) = \frac{2}{3}z{G_2}(z) + \frac{1}{3}z{G_1}(z)
    \end{array}$$$$\begin{array}{l}
    {G_1}(z) = \displaystyle \frac{{4z{G_2}(z) + z}}{{6 – z}}\\
    {G_2}(z) = \displaystyle \frac{{{z^2}}}{{18 – 15z – 2{z^2}}}\\
    {G_1}(z) = \displaystyle \frac{{3z – 2{z^2}}}{{18 – 15z – 2{z^2}}}\\
    G(z) = \frac{1}{3}z{G_1}(z) + \frac{2}{3}z{G_2}(z) =\displaystyle \frac{{{z^2}}}{{18 – 15z – 2{z^2}}}
    \end{array}$$

    \[{\left. {G'(z)} \right|_1} = 21\]

  3. Lali berakja egy kalapba nevének betűit, azaz az L, A, L, I betűket egy-egy cédulára felírva. Ezután Ili addig húz a kalapból visszatevéssel, amíg három egymás utáni húzás kiadja az ILI nevet. Jelölje X, hogy hányszor kell Ilinek húzni. Számítsuk ki X várható értékét!
  4. Legyen X generátorfüggvénye G(z).
    a) Számítsuk ki Y = 3X + 4 generátorfüggvényét!
    b) Vezessük le az a) rész generátorfüggvényéből, hogy Y várható értéke 3E(X) + 4!
  5. Egy 3×3-as sakktáblán egy huszár (ló) bolyong úgy, hogy mindig véletlenszerűen választ a lehetséges lépései közül. A bal felső sarokból indul.
    a) Mennyi az esélye, hogy előbb ér a jobb alsó sarokba, mint vissza a kiindulási helyére?
    b) Mennyi az esélye, hogy előbb ér a jobb alsó sarokba, mint a bal alsó sarokba?
  6. Egy szabályos érmét addig dobálunk, míg két egymás utáni dobás kiadja az FF sorozatot. Ehhez X dobás kell. Előadáson kiszámoltuk, hogy X generátorfüggvénye G(z) = z2/(4 – 2z – z2), várható értéke 6. Számítsuk ki X szórásnégyzetét!
  7. Számítsuk ki a Poisson eloszlás várható értékét és szórásnégyzetét a generátorfüggvénye segítségével!
  8. Egy kedvezményes mozijegy 1000 forintba kerül. Összesen  30 ember áll sorban mozijegyért, közülük húszan ezressel fizetnek, a többieknek csak kétezresük van. Mennyi az esélye, hogy a jegyeladás során nem lesz fennakadás, ha kezdetben a kassza üres, és a vásárlók bármely sorrendje egyformán valószínű?

    Megoldás:

    Ezt a feladatot rontottam el az órán, pedig előtte hangsúlyoztam, hogy ne tévesszétek el az egyenest, amelyre tükrözni kell! Az ábrán ez a piros egyenes, hiszen az a tiltott!

    Az összes út száma a kezdő (0; 0)-ból a végső (30; 10) pontba: $${30\choose 10}$$

    Az összes rossz út száma a kezdő (0; -2)-ból a végső (30; 10) pontba: $${30\choose 9}$$

    A rossz sorrendek valószínűsége $$\frac{30\choose 9}{30\choose 10}=\frac{10}{21}$$, tehát a jó sorrendek valószínűsége $$\frac{11}{21}$$

  9. Aladár és Boldizsár egy szabályos érmét dobálnak: fejdobásnál Aladár kap egy pontot, írásnál Boldizsár kap egy pontot. 6-szor dobják fel az érmét.
    a) Mennyi az esélye, hogy a játék végén egyenlő lesz a pontszámuk?
    b) Mennyi az esélye, hogy a játék végén Aladárnak lesz több pontja?
    c) Mennyi az esélye, hogy a játék során végig Boldizsár vezet?
  10. Egy szavazáson az A jelölt 60, a B jelölt 40 szavazatot kapott. A 100 db szavazatot véletlenszerű sorrendben számolták össze.
    a) Mennyi az esélye, hogy a szavazatszámlálás során végig az A jelölt vezetett?
    b) Mennyi az esélye, hogy a szavazatszámlálás során a B jelölt egyszer sem vezetett?
    c) Mennyi az esélye, hogy a szavazatszámlálás során a szavazatkülönbség A javára sosem volt 22-nél nagyobb?