Válasszunk véletlenszerűen egy pontot az origó középpontú, 1 sugarú kör belsejében. Jelölje Z a pont távolságát az origótól.
a) Adjuk meg Z eloszlás- és sűrűségfüggvényét!
b) Számítsuk ki a P(0,2 < Z ≤ 0,5) valószínűséget!
c) Számítsuk ki Z várható értékét és szórását!
Egy téglalap oldalhosszúságai a = 4 és b = 2. Véletlenszerűen választunk egy pontot a téglalapból. Legyen X a választott pont távolsága a téglalap legközelebbi oldalától.
a) Mekkora a valószínűsége, hogy X < ½?
b) Adjuk meg X eloszlás- és sűrűségfüggvényét!
c) Számítsuk ki X várható értékét!
A lámpánkban használt izzó élettartama exponenciális eloszlású, várható élettartama 3000 óra. A lámpát folyamatosan égetjük.
a) Mennyi az esélye, hogy az izzó 200 napnál tovább kitart?
b) Feltéve, hogy az izzó már 200 napja ég, mennyi az esélye, hogy a követkető tíz napban kiég?
c) Tegyük fel, hogy valahányszor az izzó kiég, azonnal kicseréljük egy ugyanolyan típusú másik izzóra. Becsüljük felülről (Csebisev-egyenlőtlenséggel) annak valószínűségét, hogy 3 darab izzó összélettartama legalább 2 év lesz (egy év 365 nap)!
Legyen X (egy készülék hibátlan működésének időtartama években) normális eloszlású, várható értéke 10, szórása 2.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy készülék legalább 9 évig hibátlanul működik?
b) Hány év garanciát adhatunk, ha azt akarjuk, hogy legfeljebb a készülékek 5%-át kelljen garanciálisan javítani?
Egy termék akkor fogadható el, ha a hossza 8,8 és 9,2 cm közé esik. Gépünk 9 cm várható értékű termékeket gyárt (tegyük fel, hogy a hossz normális eloszlású). Mekkora lehet a szórás, ha azt akarjuk, hogy a termékek legalább 90%-a jó legyen?
Legyen X abszolút folytonos eloszlású, és Y = X2. Adjuk meg Y eloszlás- és sűrűségfüggvényét!
Egy ember villamossal és busszal jár egyetemre. A villamosra való X várakozási idő (percben) a
(0, 5) intervallumon, a buszra való Y pedig ettől fűggetlen, és a (0, 10) intervallumon egyenletes eloszlású. Adjuk meg a teljes várakozási idő sűrűségfüggvényét, várható értékét és szórását!
Egy fogadásra 100 vendéget várnak, és kétféle menü lesz. A szervezők feltételezik, hogy a kétféle menü egyformán népszerű, azaz minden vendég – egymástól függetlenül – 50-50% eséllyel választ. Hány adagot készítsenek az egyes menükből, ha azt szeretnék, hogy legalább 90% legyen az esélye, hogy mindenkinek jut abból, amit szeretne? Használjuk a centrális határeloszlás tételt!
A véletlenszám-táblázatból (amelyben 0-tól 9-ig szerepelnek számjegyek) kiválasztjuk azokat a számokat, amelyek hárommal oszthatók, mindaddig, amíg 240 ilyen számot nem találunk. Körülbelül mennyi a valószínűsége, hogy ehhez legalább 645 számot tartalmazó táblázatra van szükségünk? Használjuk a centrális határeloszlás tételt!
