Az elemi matematika 2G-tk feladatsora
Feladatok kicsiknek az Abacusból, Kalmár versenyekről
A.1221. A könyvklubban négy barátnő: Rita, Zita, Gitta és Ditta kölcsönadta egymásnak 1-1 kedvenc könyvét. Hányféleképpen vihették haza a kölcsönkönyvet, ha a sajátját természetesen senki nem vitte el és mindenki csak egy könyvet vitt?
B.1238. Négy kiskacsa, Hipi, Hopi, Hepi és Hápi elment a tóra fürödni. Libasorban mentek, egymás mögött, de tudjuk, hogy Hápi előrébb volt a sorban, mint Hipi. Hányféle lehetséges sorrendben mehettek a tóra fürödni?
C.1343. Öt kiskacsa, Hipi, Hopi, Hepi, Hupi és Hápi elment a tóra fürödni.
Libasorban mentek, egymás mögött, de tudjuk, hogy Hápi előrébb volt a sorban, mint Hipi. Az összes ennek megfelelő sorrend hányadrészében találhatjuk Hápit közvetlenül Hipi előtt?
C.1348. Van négy, 1-től 4-ig sorszámozott dobozunk, és négy cédulánk,
melyeken sorban az 1, 2, 3, 4 számok láthatók. A négy doboz mindegyikébe
egy-egy cédulát helyezünk a következő szabálynak megfelelően: minden cédula azt mutatja meg, hogy az őt tartalmazó doboz sorszámának megfelelő cédula melyik dobozban található. Hányféleképpen helyezhetjük el a dobozokban a cédulákat ennek a feltételnek megfelelően?
A 2017 olyan szám, amelyben nincs két egyforma számjegy, a számjegyek
szorzata 0, összege pedig 10. Hány ilyen négyjegyű pozitív egész szám van?
A király leghűségesebb szolgálójának a következő ajánlatot teszi:
„Ebben a ládában 2016 aranytallér van. Minden nap két lehetőség közül választhatsz.
1) Ha a ládában páros számú aranytallér van, elveheted az aranytalléroknak pontosan a felét.
2) Visszatehetsz a ládába pontosan 10 aranytallért az addig megszerzett aranyakból. Rajtad kívül más nem fog sem betenni, sem kivenni aranyat. Ezt addig folytathatod, ameddig csak szeretnéd.”
Legfeljebb hány tallér jutalmat szerezhet így a ládából a szolgáló, és hogyan tudja ezt elérni?
Megoldás: Például 2016 –> 1008 –> 504 –> 252 –> 126 –> 136 –> 68 –> 34 –> 44 –> 22 –> 32 –> 16 –> 8 –> 4 –> 2 –> 1
Az 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 számjegyek mindegyikét pontosan egyszer felhasználva felírtunk öt pozitív egész számot. Hány négyzetszám lehet ezek között? Adj minden lehetőségre példát!
(Négyzetszámnak nevezzük azokat az egész számokat, amelyek megkaphatók egy egész szám önmagával vett szorzataként.)
Egy n×n-es négyzetrács bal felső sarokmezője fekete, a többi fehér. Minden lépésben kiválaszthatunk egy olyan fehér mezőt, amelynek páratlan számú fekete oldalszomszédja van, és beszínezhetjük feketére. Elérhető-e ilyen lépésekkel, hogy minden mező fekete legyen, ha
a) n = 7?
b) n = 8?
Megoldás: a) OK
b) Ha be akarnánk fedni, 63 kis négyzet kellene. Kezdetben a kerülete 1 db-nak 4. Ha egyhez illesztek +2 lesz a kerület, ha háromhoz, -2 lesz. Ha k db-ot teszek 1-hez, és 63 – k db-ot 3-hoz, akkor a kerület 2k – 2(63 – k) = 4k – 126-tal változik, de ha tele lenne 4-ről 32-re nőne, azaz 28-cal változn 28 = 4k – 126, 4k = 154, ami nem lehet, mert 154 nem osztható 4-gyel.
\[\begin{array}{c}
{n^4} – {(n – 1)^4} = 4{n^3} – 6{n^2} + 4n – 1 \\
… \\
{2^4} – {1^4} = 4 \cdot {2^3} – 6 \cdot {2^2} + 4 \cdot 2 – 1 \\
{1^4} – {0^4} = 4 \cdot {1^3} – 6 \cdot {1^2} + 4 \cdot 1 – 1 \\
{n^4} = 4\sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} – 6\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} + 4\sum\limits_{i = 1}^n i – n \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{c}
{n^5} – {(n – 1)^5} = {n^5} – {n^5} + 5{n^4} – 10{n^3} + 10{n^2} – 5n + 1 \\
= 5{n^4} – 10{n^3} + 10{n^2} – 5n + 1 \\
{(n – 1)^5} – {(n – 2)^5} = 5{(n – 1)^4} – 10{(n – 1)^3} + 10{(n – 1)^2} – 5(n – 1) + 1 \\
… \\
{1^5} – {(1 – 1)^5} = 5 \cdot {1^4} – 10 \cdot {1^3} + 10 \cdot {1^2} – 5 \cdot 1 + 1 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{n^5} = 5 \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{i^4}} – 10 \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} + 10 \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} – 5 \cdot \sum\limits_{i = 1}^n i + n \\
{n^5} + 10 \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} – 10 \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} + 5 \cdot \sum\limits_{i = 1}^n i – n = 5 \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{i^4}} \\
{n^5} + 10 \cdot \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} – 10\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{ + } + 5\frac{{n(n + 1)}}{2} – n = 5 \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{i^4}} \\
\frac{{n(n + 1)(2n + 1)(3{n^2} + 3n – 1)}}{{30}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{i^4}} \\
\end{array}\]